有一个无限大的棋盘,棋盘左下角有一个大小为 n 的阶梯形区域,其中最左下角的那个格子里有一枚棋子,如左图所示。你每次可以把一枚棋子“分裂”成两枚棋子,分别放在原位置的上边一格和右边一格。你的目的是通过有限次的操作,让整个阶梯里不再有任何棋子。下图所示的是 n = 2 时的一种解法。我们的问题是:对于哪些 n ,这个游戏是有解的?
有几个刚学数字的小学生在玩数数字,从1数到1000。他们的规则是这样的:
第一个学生把数字分成三个为一组来数,不过总是跳过中间的那个。所以他数的数字是:
1,3,4,6,7,9,10,12,13,15,16,18,19......
第二个学生数着第一个学生没有数的数字,也是分成三个为一组,跳过中间的数字。所以他数的数字是:
2,8,11,17,20,26,29......
第三个学生数着前面两个学生都没有数的数字,也是分成三个一组,跳过中间那个。
第四个学生数着前面三个学生都没有数的数字,也是分成三个一组,跳过中间那个。
……
照这个规律数下去,最后一个学生只数了一个数字。
问总共有几个学生?最后一个学生数的数字是什么?
【出自美国初中生数学竞赛,有改动】
一个复原好的三阶魔方,现在假设按照某种既定的旋转规则一直转下去,比如横着转一下,在竖着转两下,然后再横着转一下,竖着转两下,一直持续下去,把这种旋转规则既定为A,我们知道在以A规则旋转后魔方前后六面的组合方式定然不同,但是要看A规则是怎样的了,比如也有可能执行N次A规则后魔方又复原,【比如竖着转魔方一边转4次魔方又复原了】,现在问题是如果正面拿着魔方一面,比如白色一面,一直持续的沿着顺时针的方向转一次白面的一边,那么到最后魔方会再次复原吗?
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