卡小修數學大冒險9 美味大蛋糕
考察點：球與圓台的表面積與體積公式、高次同餘方程與一次同餘方程組
為了慶祝繆斯蘇醒，眾人讓卡小修花大價錢訂做了一個大蛋糕。
卡小修得意地說：「想吃蛋糕也不難，請聽題：我訂做的蛋糕是個圓台，它的上底面圓的半徑、下底面圓的半徑、高三者都是整數，比為3:4:6（單位：厘米）。這個蛋糕挖去一個表面積（單位：平方厘米）和體積（單位：立方厘米）的數值相等的球后，正好均分給45隻小精靈吃。則這個蛋糕的側面積（單位：平方厘米）是多少？」
「果然是有錢的學霸都逆天，可是範圍太大了，這條件很明顯不夠啊。」卡修斯為難地說。
「哦對了，這蛋糕一米多高。現在應該可以算出來了吧。」卡小修萌（xie）萌（e）地笑了笑。
請問蛋糕的側面積是多少？
難度：較難
下面這個有趣的問題來自於 2012 年 4 月的 IBM Ponder This 謎題。
有 8 根很長的並且顏色不同的水管並排放在一起， A 、 B 兩人分別位於這些水管的兩端。兩個人手中各有若干根很短的橡皮管，他們可以用這些橡皮管任意連接自己這一側的水管口。 A 的旁邊還有一個水龍頭， A 可以用橡皮管把水龍頭與自己這一側的其中一個水管口相連。
A 、 B 兩人各將獲得一個五位 01 串，然後兩人可以根據自己手中的 01 串來連接水管口。當 A 打開水龍頭后，容易看出，水必然會從其中一側流出。兩人需要保證，如果兩人手中的 01 串相等，則水從 A 的一側流出，否則水從 B 的一側流出。他們事先可以商量一個策略，但遊戲一旦開始，兩人一旦拿到各自的 01 串之後，就不允許再交流了（因此兩人都不知道對方手中的 01 串是什麼）。請你想出一個能保證兩人獲勝的策略。
一家旅館中要舉行一家特殊的演出，已知這家旅館中有七名演唱家，六名鼓手，三名鋼琴家和四名薩克斯手。這場演出需要在這些人中選擇出三個人進行（三個人沒有任何限制，可以是任何人。每個人被選擇的順序不計入考慮）
已知阿鳥遙斗是旅館中的薩克斯手。
求：在這場三人演奏中，阿鳥作為唯一的薩克斯手被選中的概率是？
1）.圖中的顏色只用作區別使用，我們關心的是裡面的數字變化，而圖中的數字排列只是隨機的安排做示例；
2）.每個色塊中都有一個數字，數字變化範圍為1,2,3；
3）.每次點擊一個色塊，則相關幾個色塊內的數字隨著點擊次數按照1,2,3,1,2,3……的周期循環變化；
4）.當點擊紅色or黃色or紫色or白色色塊，則包括該色塊在內的所在角上的三個色塊內的數字發生變化。比如我點擊紅色色塊，則綠色、紅色、橙色色塊內的數字依次由3,1,2變化為1,2,3；
5）.當點擊橙色or藍色or灰色or綠色色塊，則包括該色塊在內的所在邊上的三個色塊內的數字發生變化。比如我點擊橙色色塊，則紅色、橙色、黃色色塊內的數字依次由1,2,3變化為2,3,1；
6）.當點擊水藍色色塊，則包括該色塊在內的所在正交邊上的五個色塊內的數字發生變化。比如我點擊水藍色色塊后，則綠色、橙色、藍色、灰色、水藍色色塊內的數字依次由3,2,1,1,1變化為1,3,2,2,2；
7）.遊戲的目的是經過多次點擊變化后使得所有色塊內的數字變為1。
現要求使用線性代數解出遊戲勝出的通解方法！
函數f和它的前2個導數是連續的,f(x)>=0, f(0)=f ' (0)= 0, 並且f '' (0)>0 . 求當a趨近於0+時候,下列面積的比：曲線下面：y=0上面： 與x=0,x=a相交的面積：(0，0), (a,0), (a, f(a))所形成的三角形面積的比。
卡小修數學大冒險11 難解的密保問題
考察點：不定方程
卡小修他們正要乘坐飛船出發，忽然收到了一個神秘包裹，裡面有一張紙條和一個平板。
紙條上寫著：「打開平板，就會發現歐比組織的巨大陰謀，情況非常緊急，能不能打開就靠你們的本事了。順便說一下，平板里裝有隱形攝像頭，如果我發現你們不分析方程，把數直接往裡面代入，平板就會自動銷毀。祝你們好運。」
平板果然設有開機密保問題：「下面哪一個不是不定方程x+2xy+y^2=x^2+1的整數解(x,y)？」
(-1,-1) (-1,3)(0,1) (0,-1) (5,2) (8,3) (8,-19) (3,-7)。」
卡小修和卡修斯計算了一個多小時，終於將結果輸入了進去，大家看到壁紙就露出驚恐的表情。
請問應該輸入哪一組(x,y)？
難度：困難
P.S.這道題是本人無意間探索出來的，綜合性比較強，符合原創標準。由於選項數目有限制，只能刪掉一組解，換成不是方程的解，這解的數目都出來了。
熱門高等數學題庫提供各類高等數學題目及答案。高等數學試題是適合大學及其以上學歷的人解答的數學題，對鞏固各類數學知識點有極大幫助。
如果你有其他有關高等數學的好題目，歡迎與我們分享 請發布高等數學的智力題