n的倍数有以下特征，请问数学上怎么给出证明？
（3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
（4）若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
（7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
（8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
（9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
（10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。
（11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！
（12）若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
（13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
（14）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
（15）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
（16）若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。
（17）若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。
（18）若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除。
有一个半圆柱体横放在水平桌面上，截面的半径为 R 。我们在半圆柱体上放一块木板，试图让它在半圆上保持平衡。假如这块木板非常薄，那么这块木板很容易放稳，即使有些小动静，木板也会自动恢复平衡。但考虑另外一个极端，假如这是一块非常厚非常厚的木板（甚至是大楼一般的形状），它显然不能稳放在这个半圆上。那么，这中间一定会有一个临界点。这个临界点在哪里？换句话说，这个半圆上最多能放稳一块多厚的木板？
卡小修数学大冒险10 金砖的底边长
考察点：不定方程ax^2+bx^2+cx^2=0的解
吃完蛋糕后，大家商讨作战经费的事情，卡小修这才发现钱包里没钱了，于是从他家的保险柜里取出三块金砖。
“这三块金砖的底面都是正方形，底面边长都是整数。第一块金砖高23cm，第二块高7cm，第三块高29cm。且第一块金砖的体积等于其余两块之和。则下面选项中第一、二、三块金砖的底边长不可能分别是多少cm？”卡小修说。
“补充几点，可以使用计算器，但必须先解不定方程确定未知数的关系，不能先把选项代入其中。谁先做出来可以多得作战经费，因为战争需要头脑，也需要耐心。”卡小修用鼓（xiong）励（hen）的眼神看着大家。
那么下面选项中第一、二、三块金砖的底边长不可能分别是多少cm？
P．S．不必考虑是否真的有这样大小的金砖，只要符合底边长为整数，且满足不定方程即可。
难度：困难
本题为求抛硬币连续出现同一面的概率问题。
一枚硬币有两面：“H面”和“T面”，设抛硬币出现“H面”和“T面”的概率各为50%。
抛10次硬币，求至少连续2次出现“H面”的概率；求正好连续2次出现“H面”的概率？
抛n次硬币，求至少连续k次出现“H面”的概率；求正好连续k次出现“H面”的概率？
如果设抛硬币出现“H面”的概率为p，出现“T面”的概率为1-p。k<=n
抛n次硬币，求至少连续k次出现“H面”的概率；求正好连续k次出现“H面”的概率？
这题的主要目的是求n重贝努利试验中同一结果连续出现的问题。
反叛银河帝国的叛军大本营被发现了！
在某一星球的一处营地里，发现了叛军指挥部的十顶帐篷（真是人又少又寒酸），帝国国防部得知这一情报后，立即派出飞碟部队去讨伐叛军。飞碟部队指挥官决定采取最直接最残忍的战术来搞定此事——用一些飞碟直接降落在帐篷顶上，把所有叛军压死完事。
有以下显而易见要考虑的事实：
1，飞碟很大、帐篷很小；
2，必须同时压扁所有的帐篷，否则会有人逃跑；
3，压的时候飞碟不能重叠，但可以挨着。
请问这种战术能成功吗？
用数学的思路，把10个叛军帐篷看作平面上的10个点，把飞碟部队的所有飞碟看作同样大小的圆，问题变成了：不论10个点如何分布，是否都存在用互不重叠的若干单位圆将10个点覆盖的办法？
颜色由RGB三原色组成，但人眼调色时只能比较亮度和色温，不能直接认知每个原色的高低。假设亮度等于（R+B）*G，色温等于（R-B）/G，现有一个标准色，你用作比对调节另一个颜色，每个原色有1到8个亮度等级，人眼可以感觉哪个亮度高低和色温高低，但不知道差了多少，另外当亮度和色温相等但实际3原色并不都相等时，你也能感觉出两个颜色不一样，但不确定哪里不一样。请问至少调多少次，才能保证调出一样的颜色？
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