某个国王手下有 n 个大臣。国王定期主持国家会议,届时 n 个大臣将会间隔均匀地坐在圆桌上。每个座位前都有一盏照明灯,只有所有的灯都亮了,会议才能开始进行。如果有些灯没亮,国王会下达指令,让指定位置上的大臣按下座位前的灯的开关,把没亮的灯都打开。例如,当 n = 100 时,圆桌上会坐着 100 个大臣。不妨将座位从 1 到 n 顺序编号,假设其中编号为 3 、 28 、 97 的座位前没有亮灯。于是,国王下令这三个位置上的大臣按下各自面前的开关,把这三盏灯打开,这样才能开始会议议程。
在这 n 个大臣中,有一个奸臣。这次会议的议题恰好就是商讨对这个奸臣的惩治办法。奸臣知道自己难逃一劫,但他希望能够无限制地拖延会议。他可以在所有大臣就座前精心设置各个照明灯的初始状态,并在国王每次下达指令之后(但在大臣执行命令之前)把圆桌旋转到一个合适的位置,让大臣们按下错误的开关。
对于哪些 n ,奸臣可以始终保证灯不会全亮,从而无限制地拖延会议?对于哪些 n ,国王可以根据局势巧妙地构造指令,使得有限轮指令之后所有灯必然全亮?
有一个无限大的棋盘,棋盘左下角有一个大小为 n 的阶梯形区域,其中最左下角的那个格子里有一枚棋子,如左图所示。你每次可以把一枚棋子“分裂”成两枚棋子,分别放在原位置的上边一格和右边一格。你的目的是通过有限次的操作,让整个阶梯里不再有任何棋子。下图所示的是 n = 2 时的一种解法。我们的问题是:对于哪些 n ,这个游戏是有解的?
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