有一個無限大的棋盤,棋盤左下角有一個大小為 n 的階梯形區域,其中最左下角的那個格子里有一枚棋子,如左圖所示。你每次可以把一枚棋子「分裂」成兩枚棋子,分別放在原位置的上邊一格和右邊一格。你的目的是通過有限次的操作,讓整個階梯里不再有任何棋子。下圖所示的是 n = 2 時的一種解法。我們的問題是:對於哪些 n ,這個遊戲是有解的?
一個復原好的三階魔方,現在假設按照某種既定的旋轉規則一直轉下去,比如橫著轉一下,在豎著轉兩下,然後再橫著轉一下,豎著轉兩下,一直持續下去,把這種旋轉規則既定為A,我們知道在以A規則旋轉后魔方前後六面的組合方式定然不同,但是要看A規則是怎樣的了,比如也有可能執行N次A規則后魔方又復原,【比如豎著轉魔方一邊轉4次魔方又復原了】,現在問題是如果正面拿著魔方一面,比如白色一面,一直持續的沿著順時針的方向轉一次白面的一邊,那麼到最後魔方會再次復原嗎?
假設酒的酒精度在0.00到80.00度之間的某一固定值時為最佳,酒的酒精度越接近此值酒越好。某酒廠請來一位特級品酒師(當然是價格不菲),他每次會品3杯酒,然後排出3杯酒的好壞次序,如果其中兩杯距離最佳值一樣(比如一個高出1度,一個低出1度),則這兩杯的相對次序隨機排列。該大師會品3次(共 9杯),請問:
1.如何勾兌每杯酒的度數,才能使最終結果最接近最佳值?
2.如果比最佳值低1度則品質降M,比最佳值高1度則品質降N,且M=K*N,K如果=2,如何試?
3.K如果未知,如何試?
考慮一個傳統的猜數遊戲。 A 、 B 兩名玩家事先約定一個正整數 N ,然後 A 在心裡想一個不超過 N 的正整數 x , B 則需要通過向 A 提問來猜出 A 心裡想的數。 B 的問題只有唯一的格式:先列出一些數,然後問 A 「x 是否在這些數里」, A 則需要如實回答「是」或者「否」。顯然, B 是保證能猜到 x 的,只需要依次詢問「x 是否等於 1 」,「x 是否等於 2 」即可。由於 B 可以精心選出滿足某種特徵的所有數,詢問 x 是否在這些數里,因而 B 還可以做得更好。例如當 N = 16 時, B 第一次可以問「x 是否小於等於 8 」,或者等價地,「x 是否屬於 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 」;接下來,根據 A 的回復繼續細問「x 是否小於等於 4 」或者「x 是否小於等於 12 」,以此類推。另一種方法則是詢問「x 的二進位表達的第一位是否是 1」,「x 的二進位表達的第二位是否是 1」,以此類推,從而獲得 x 的二進位表達的所有數位,便能推出 x 來。
現在,有意思的問題來了。假設 A 可以偶爾說謊(但保證不會連續說謊兩次),那麼 B 還能通過詢問猜出 A 所想的數嗎?如果願意的話, B 可以詢問任意多次。
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