一個公司里有 n 個員工,其中某些員工之間有「好友」的關係(這是一個對稱的關係)。每天早晨來到公司,員工們都會從茶和咖啡中選擇一樣作為早飲。此時,每個員工都會觀察自己的朋友們都在喝啥:如果超過一半的人都在喝茶,第二天他自己也會跟著喝茶;如果超過一半的人都在喝咖啡,第二天他自己就會跟著喝咖啡;如果喝茶喝咖啡的人數各佔一半(僅當他有偶數個朋友時才會發生這種情況),則第二天他的決策不變,繼續喝自己今天喝的東西。
由於 n 個員工一共只能產生 2n 種不同的早飲組合,因此總有一天大家喝的東西會和過去的某一天一模一樣,從而產生循環。證明:循環的長度不超過 2 。
有一根不均勻的繩子,燒完正好需要 1 個小時。如何用這根繩子測出半個小時的時間呢?答案很巧妙:把這根繩子的兩頭同時點燃,繩子燒完時正好就過了半個小時。更妙的是下面這個加強版:如何用兩根這樣的繩子來計時 45 分鐘?答案是,把其中一根繩子的兩頭都點燃,同時點燃另一根繩子的其中一頭;待到前一根繩子燒完之後,再把第二根繩子的另一頭也點燃,於是便能測出 30 + 15 = 45 分鐘了。
一個有趣的問題自然而然地產生了:假如這樣的繩子足夠多,哪些時間能夠用燒繩子的方法測出來呢?
設 S 是平面上包含至少兩個點的一個有限點集,其中沒有三點在同一條直線上。所謂一個「風車」是指這樣一個過程:從經過 S 中單獨一點 P 的一條直線 l 開始,以 P 為旋轉中心順時針旋轉,直至首次遇到 S 中的另一點,記為點 Q 。接著這條直線以 Q 為新的旋轉中心順時針旋轉,直到再次遇到 S 中的某一點,這樣的過程無限持續下去。
證明:可以適當選取 S 中的一點 P ,以及過 P 的一條直線 l ,使得由此產生的「風車」將 S 中的每一點都無限多次用作旋轉中心。
最新求助數學天地題庫提供各類數學題大全及答案,包含小學奧數、中學數學、高等數學、趣味數學、趣味幾何等各種數學題及答案。數學天地幫助大家學習解答各類數學題,並培養學習數學的興趣。
如果你有其他有關數學天地的好題目,歡迎與我們分享 請發布數學天地的智力題