有一個無限大的棋盤,棋盤左下角有一個大小為 n 的階梯形區域,其中最左下角的那個格子里有一枚棋子,如左圖所示。你每次可以把一枚棋子「分裂」成兩枚棋子,分別放在原位置的上邊一格和右邊一格。你的目的是通過有限次的操作,讓整個階梯里不再有任何棋子。下圖所示的是 n = 2 時的一種解法。我們的問題是:對於哪些 n ,這個遊戲是有解的?
在所有周長相等的長方形中,正方形擁有最大的面積;在所有周長相等的平面圖形中,圓擁有最大的面積;在所有表面積相等的長方體中,正方體擁有最大的體積;在所有表面積相等的立體圖形中,球擁有最大的體積。所有這類問題的答案都是越對稱的圖形越好嗎? George Pólya 在 Mathematical Discovery 一書中的第 15 章里舉了下面這個例子。
在給定圓周上選取四個點構成一個四邊形,那麼正方形的面積一定是最大的嗎?答案是肯定的。只要有哪個點不在相鄰兩點之間的圓弧的中點處,我們都可以把它移動到這段圓弧的中點處,使得整個圖形的面積變得更大。好了,我們現在的問題是,在球面上選取八個點構成一個頂點數為 8 的多面體,那麼正方體一定是體積最大的嗎?
假設你有 n 枚外觀完全相同的硬幣,它們的重量分別為 1g, 2g, 3g, …, ng 。有意思的是,這一次,你已經知道了各枚硬幣的重量,而且你也已經把重量值標在了這些硬幣上。但是,由於我不知道各枚硬幣的重量,因此我希望你能向我證明,你所標的重量值是正確的(我知道這些硬幣的重量是從 1 克到 n 克,我只是不知道哪個硬幣對應哪個重量)。
你唯一能用的工具就是一架天平。每一次,你可以任意選擇一枚或多枚硬幣,放在天平的左側,再從剩下的硬幣中任意選擇一枚或多枚硬幣,放在天平的右側(注意,你只能在天平上放硬幣,不能放別的東西)。一個有意思的問題是,為了向我證明你所標的重量值都是對的,你最少需要使用多少次天平?
一個復原好的三階魔方,現在假設按照某種既定的旋轉規則一直轉下去,比如橫著轉一下,在豎著轉兩下,然後再橫著轉一下,豎著轉兩下,一直持續下去,把這種旋轉規則既定為A,我們知道在以A規則旋轉后魔方前後六面的組合方式定然不同,但是要看A規則是怎樣的了,比如也有可能執行N次A規則后魔方又復原,【比如豎著轉魔方一邊轉4次魔方又復原了】,現在問題是如果正面拿著魔方一面,比如白色一面,一直持續的沿著順時針的方向轉一次白面的一邊,那麼到最後魔方會再次復原嗎?
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