有限群是具有有限多個元素的群。有限群的研究起源很早，其形成時期是與柯西、拉格朗日、高斯、阿貝爾以及後來的伽羅瓦、若爾當等人的名字相聯繫的。交換群（也稱阿貝爾群）是滿足交換律的群，即對於群中任意兩個元素a和b，有ab = ba。交換群在群論中具有重要地位，因為許多實際應用和理論研究都涉及交換性質。以下是有限交換群也是有限循環群的是：
求證這道題在所有周長相等的長方形中，正方形擁有最大的面積；在所有周長相等的平面圖形中，圓擁有最大的面積；在所有表面積相等的長方體中，正方體擁有最大的體積；在所有表面積相等的立體圖形中，球擁有最大的體積。所有這類問題的答案都是越對稱的圖形越好嗎？ George Pólya 在 Mathematical Discovery 一書中的第 15 章里舉了下面這個例子。
在給定圓周上選取四個點構成一個四邊形，那麼正方形的面積一定是最大的嗎？答案是肯定的。只要有哪個點不在相鄰兩點之間的圓弧的中點處，我們都可以把它移動到這段圓弧的中點處，使得整個圖形的面積變得更大。好了，我們現在的問題是，在球面上選取八個點構成一個頂點數為 8 的多面體，那麼正方體一定是體積最大的嗎？
假設你有 n 枚外觀完全相同的硬幣，它們的重量分別為 1g, 2g, 3g, …, ng 。有意思的是，這一次，你已經知道了各枚硬幣的重量，而且你也已經把重量值標在了這些硬幣上。但是，由於我不知道各枚硬幣的重量，因此我希望你能向我證明，你所標的重量值是正確的（我知道這些硬幣的重量是從 1 克到 n 克，我只是不知道哪個硬幣對應哪個重量）。
你唯一能用的工具就是一架天平。每一次，你可以任意選擇一枚或多枚硬幣，放在天平的左側，再從剩下的硬幣中任意選擇一枚或多枚硬幣，放在天平的右側（注意，你只能在天平上放硬幣，不能放別的東西）。一個有意思的問題是，為了向我證明你所標的重量值都是對的，你最少需要使用多少次天平？
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