1994聖彼得堡數學奧林匹克(初中)
兩人輪流在101×101的方格表中擺放棋子，每人每次擺放1枚棋子。先開始者可以把棋子放在任何一個這樣的空格中:該格所在的行與列中已經擺放的棋子總數為偶數;后開始者則可以把棋子放在任何一個這樣的空格中:該格所在的行與列中已經擺放的棋子總數為奇數。誰不能再擺放棋子，就算誰輸。試問:誰有取勝策略?
有三堆石子，允許往其中任何一堆中添加石子，所添加的石子粒數必須等於此時其餘兩堆中的石子粒數之和;也可以在能夠做到時，從其中任何一堆中取出石子，取出的石子粒數等於此時其餘兩堆石子中的石子粒數之和(例如，若在三堆石子中分別有4、7和12粒石子，則可以往4粒石子的堆中添加7+12=19粒石子;也可以自12粒石子的堆中取出4+7=11粒石子)。現設三堆石子中原來分別有1993、199和18粒石子。問:能否通過若干次操作，使得其中一堆變空?
第43屆IMO預選題
設T是由有序三元數組(x，y，z)組成的集合，其中x、y、z是整數，且0≤x，y，z≤9。甲、乙兩人玩下面的遊戲:甲在T中選一個三元數組(x，y，z)，乙不得不用幾次「運動」來猜甲所選的三元數組。一次「運動」為:乙給甲一個T中的三元數組(a，b，c)，甲回答乙的數是|x+y-a-b|+|y+z-b-c|+|z+x-c-a|。求「運動」次數的最小值，使得乙能知道甲所選的三元數組。
某大公的衛隊里有1000名武士。任何兩名武士或者互為朋友，或者互為敵人，或者互不認識。武士們都是寡合的，他們都只同朋友才說話。但是，現狀使得每名武士都不開心，因為對於每名武士來說，他的任何兩個朋友都互為敵人，而他的任何兩個敵人都互為朋友。為了使得所有武士都知道大公的一項新決定，大公是否至少需要通知200名武士。
水窪里有19條藍色變形蟲和95條紅色變形蟲。有時它們會發生互變:如果2條紅色變形蟲相遇，會變成1條藍色變形蟲;如果2條藍色變形蟲相遇，在變成1條變形蟲之後又立即分裂為4條紅色變形蟲;而1條紅色變形蟲與1條藍色變形蟲相遇，則在變成1條變形蟲之後又立即分裂為3條紅色變形蟲。到了晚上，水窪里一共有100條變形蟲。試問:其中有多少條藍色變形蟲?
三個魔術師印製了許多不同面值的「錢」，他們每人各持有100盧布的「錢」。現知他們每人都可以支付由1到25盧布的各種不同數額的「貨款」(包括找回「零錢」)。三個魔術師的錢合在一起是否可以支付由100到200盧布的各種不同數額的「貨款」(魔術師印製的「錢」的面值可以不同於正常的錢，並且上述「貨款」的數額都是整數)。
罪犯為了在一幢13層住宅樓里行竊，故意弄壞了電梯里的按鈕。現在電梯不能按照所按的樓層號碼停靠(即所停樓層與所按的號碼不一定相符)。一位老人從他所在的樓層按了自己要去的樓層號碼，結果卻到了別的樓層，於是，他不得不再次按自己要去的樓層號碼，經過1313次反覆試按，他發現又回到了開始時的樓層。是否只要反覆按同一個號碼，可以由任何一層到達任何一層
