考慮一個傳統的猜數遊戲。 A 、 B 兩名玩家事先約定一個正整數 N ，然後 A 在心裡想一個不超過 N 的正整數 x ， B 則需要通過向 A 提問來猜出 A 心裡想的數。 B 的問題只有唯一的格式：先列出一些數，然後問 A 「x 是否在這些數里」， A 則需要如實回答「是」或者「否」。顯然， B 是保證能猜到 x 的，只需要依次詢問「x 是否等於 1 」，「x 是否等於 2 」即可。由於 B 可以精心選出滿足某種特徵的所有數，詢問 x 是否在這些數里，因而 B 還可以做得更好。例如當 N ＝ 16 時， B 第一次可以問「x 是否小於等於 8 」，或者等價地，「x 是否屬於 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 」；接下來，根據 A 的回復繼續細問「x 是否小於等於 4 」或者「x 是否小於等於 12 」，以此類推。另一種方法則是詢問「x 的二進位表達的第一位是否是 1」，「x 的二進位表達的第二位是否是 1」，以此類推，從而獲得 x 的二進位表達的所有數位，便能推出 x 來。
現在，有意思的問題來了。假設 A 可以偶爾說謊（但保證不會連續說謊兩次），那麼 B 還能通過詢問猜出 A 所想的數嗎？如果願意的話， B 可以詢問任意多次。
下面這個有趣的問題來自於 2012 年 4 月的 IBM Ponder This 謎題。
有 8 根很長的並且顏色不同的水管並排放在一起， A 、 B 兩人分別位於這些水管的兩端。兩個人手中各有若干根很短的橡皮管，他們可以用這些橡皮管任意連接自己這一側的水管口。 A 的旁邊還有一個水龍頭， A 可以用橡皮管把水龍頭與自己這一側的其中一個水管口相連。
A 、 B 兩人各將獲得一個五位 01 串，然後兩人可以根據自己手中的 01 串來連接水管口。當 A 打開水龍頭后，容易看出，水必然會從其中一側流出。兩人需要保證，如果兩人手中的 01 串相等，則水從 A 的一側流出，否則水從 B 的一側流出。他們事先可以商量一個策略，但遊戲一旦開始，兩人一旦拿到各自的 01 串之後，就不允許再交流了（因此兩人都不知道對方手中的 01 串是什麼）。請你想出一個能保證兩人獲勝的策略。
某個國王手下有 n 個大臣。國王定期主持國家會議，屆時 n 個大臣將會間隔均勻地坐在圓桌上。每個座位前都有一盞照明燈，只有所有的燈都亮了，會議才能開始進行。如果有些燈沒亮，國王會下達指令，讓指定位置上的大臣按下座位前的燈的開關，把沒亮的燈都打開。例如，當 n = 100 時，圓桌上會坐著 100 個大臣。不妨將座位從 1 到 n 順序編號，假設其中編號為 3 、 28 、 97 的座位前沒有亮燈。於是，國王下令這三個位置上的大臣按下各自面前的開關，把這三盞燈打開，這樣才能開始會議議程。
在這 n 個大臣中，有一個奸臣。這次會議的議題恰好就是商討對這個奸臣的懲治辦法。奸臣知道自己難逃一劫，但他希望能夠無限制地拖延會議。他可以在所有大臣就座前精心設置各個照明燈的初始狀態，並在國王每次下達指令之後（但在大臣執行命令之前）把圓桌旋轉到一個合適的位置，讓大臣們按下錯誤的開關。
對於哪些 n ，奸臣可以始終保證燈不會全亮，從而無限制地拖延會議？對於哪些 n ，國王可以根據局勢巧妙地構造指令，使得有限輪指令之後所有燈必然全亮？
有一個無限大的棋盤，棋盤左下角有一個大小為 n 的階梯形區域，其中最左下角的那個格子里有一枚棋子，如左圖所示。你每次可以把一枚棋子「分裂」成兩枚棋子，分別放在原位置的上邊一格和右邊一格。你的目的是通過有限次的操作，讓整個階梯里不再有任何棋子。下圖所示的是 n = 2 時的一種解法。我們的問題是：對於哪些 n ，這個遊戲是有解的？
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