平面上有五個點，任意兩點的連線都不平行，也不垂直，現從每一個點向其他四點兩兩連接的直線作垂線，試求出所有這些垂線的交點的最大數目。
所有的矩形都是正方形，而且尺寸都不相同，現在假設最小的正方形邊長為1，那麼打問號的方塊邊長是多少？
現有一個中空的5米立方體盒子，一個3米藍色立方體，一個2米藍色立方體，一個1米藍色立方體，89個1米紅色立方體。欲把所有立方體放入盒子里，並且要求每個藍色立方體至少有一個側面與其它藍色立方體的一個或多個側面接觸。如果兩種排列方式互為鏡像，或者某種排列方式與另一種排列方式旋轉之後相同，都認為其是一種排列方式。問題：共有多少种放置立方體的排列方式？
按照如下要求，推斷能夠完全遮蓋下圖藍色格子中淺色區域所需的展開紙盒的最小量。 1. 每個盒子都必須被完全展開，並使其每個面都能很好的與淺色方格保持一致。 2. 展開的紙盒可以互相覆蓋。 圖中左側的方格是兩種可以展開紙盒的方式。
一個十英寸寬方五英寸高的盒子里，最多可以容納多少個直徑為一英寸的球體？
證明：任意給定一個面積為 1 的凸多邊形，我們總能把它放進一個面積為 2 的矩形里。
給你一張紙，要求你在上面畫儘可能多的圓圈，使得所有圓圈都不相交。你最多能畫多少個？ 顯然，你可以畫無窮多個圓圈。事實上，你可以畫不可數個圓圈——只需要畫出一系列半徑長均為無理數的同心圓即可。由於每兩個無理數之間都夾有有理數，因此任意兩個圓都沒挨在一塊兒。 給你一張紙，要求你在上面畫儘可能多的叉，使得所有的叉都不相交。你能在紙上畫出不可數個叉嗎？如果可以，請給出一種方案；如果不行，證明之。
最多能在平面上找出多少個點，使得它們兩兩之間的距離都是整數？（忽略所有點都在一條直線上這一特例）
能否在一個無限大的等邊三角形點陣中選取四個點，使得這四個點恰好構成一個正方形？
依次考慮下面三個問題。 1. 一根單位長的木棒。隨機在中間選取一點，把這根木棒折斷。那麼，短的那一截木棒平均有多長？ 2. 一根單位長的木棒。隨機在中間選取一點，把這根木棒折斷。那麼，長的那一截木棒平均有多長？ 3. 一根單位長的木棒。隨機在中間選取一點，把這根木棒折斷。那麼，短的那一截與長的那一截的長度之比平均是多少？
筆試題：一個大三角形中有1,2,3,4四個數字。
要求用曲線將相同的兩個數連起來，且線不能有交叉，另外線也不能穿過小三角形，也不能繞出大三角形之外。
圖畫的不好看，另外數字好像就是這樣的，憑印象記下的。
天使和惡魔在一個無限大的棋盤上玩遊戲。每一次，惡魔可以挖掉棋盤上的任意一個格子，天使則可以在棋盤上飛行1000步之後落地；如果天使落在了一個被挖掉的格子上，天使就輸了。 問題：惡魔能否困住天使（在天使周圍挖一圈厚度1000的坑）？
幾何證明
1 r1=2r2
2 7/r4=2/r7+5/r1
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