平面上有n个点，其中任意三点都构成一个直角三角形。证明n<5
几何证明
1 r1=2r2
2 7/r4=2/r7+5/r1
用任意的方式，给平面上的每个点染上黑色或白色，证明：一定有一个边长为1或根号3的等边三角形，它的三个顶点同色
平面上有10个点，在这10个点中任取5个点，则5个点中必有4个点在一个圆上，证明：有9个点在一个圆上
将15×15的正方形方格表涂上红色、蓝色、绿色，证明至少可以找到两行，这两行中某一种颜色的格数相同。
作一个十三边形，再作一条与该多边形13条边都相交的直线。
证明：该直线至少通过一个顶点。
2003年IMO中国国家集训队选拔考试试题
在锐角△ABC中，AD是∠A的内角平分线，点D在边BC上，过点D分别作DE⊥AC、DF⊥AB，垂足分别为E、F，连结BE、CF，它们相交于点H，△AFH的外接圆交BE于点G。求证:以线段BG、GE、BF组成的三角形是直角三角形。
设⊙O的内接凸四边形ABCD的两条对角线AC、BD的交点为P，过P、B两点的⊙O1与过P、A两点的⊙O2相交于两点P、Q，且⊙O1、⊙O2分别与⊙O相交于另一点E、F。求证:直线PQ、CE、DF共点或者互相平行
证明：球的体积大于任一具有相等表面积的正多面体
假定P, Q, R是△ABC的三边AB、BC、CA上的三点，满足RA+AP＝PB+BQ＝QC+CR=1/3，证明: PQ+QR+RP大于等于1/2
用尺规作图可以二等分一个角，那么如何三等分一个角。如果不能的话，怎样证明不能三等分呢？
是不是所有的五角星（不一定是正五角星）的五个角之和都是180度。如果是，请证明。不是，请举出反例。
设∠XOY=90°，P为∠XOY内的一点，且OP=1，∠XOP=30°，过点P任意作一条直线分别交射线OX、OY于点M、N。求OM+ON-MN的最大值。
利用初等几何证明证明图中的角C角度等于角A和角B角度的和。
很简单的一道题。Rt△ABD，∠ABD=90°，BE平分∠ABD，DE平分∠ADB的外角。求∠AEB度数。有兴趣的可再想想如何证明。（回答数字即可）
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