有一个无限大的棋盘，棋盘左下角有一个大小为 n 的阶梯形区域，其中最左下角的那个格子里有一枚棋子，如左图所示。你每次可以把一枚棋子“分裂”成两枚棋子，分别放在原位置的上边一格和右边一格。你的目的是通过有限次的操作，让整个阶梯里不再有任何棋子。下图所示的是 n = 2 时的一种解法。我们的问题是：对于哪些 n ，这个游戏是有解的？
一个复原好的三阶魔方，现在假设按照某种既定的旋转规则一直转下去，比如横着转一下，在竖着转两下，然后再横着转一下，竖着转两下，一直持续下去，把这种旋转规则既定为A,我们知道在以A规则旋转后魔方前后六面的组合方式定然不同，但是要看A规则是怎样的了，比如也有可能执行N次A规则后魔方又复原，【比如竖着转魔方一边转4次魔方又复原了】，现在问题是如果正面拿着魔方一面，比如白色一面，一直持续的沿着顺时针的方向转一次白面的一边，那么到最后魔方会再次复原吗？
假设酒的酒精度在0.00到80.00度之间的某一固定值时为最佳，酒的酒精度越接近此值酒越好。某酒厂请来一位特级品酒师（当然是价格不菲），他每次会品3杯酒，然后排出3杯酒的好坏次序，如果其中两杯距离最佳值一样（比如一个高出1度，一个低出1度），则这两杯的相对次序随机排列。该大师会品3次（共 9杯），请问:
1.如何勾兑每杯酒的度数，才能使最终结果最接近最佳值？
2.如果比最佳值低1度则品质降M，比最佳值高1度则品质降N，且M=K*N，K如果=2，如何试？
3.K如果未知，如何试？
考虑一个传统的猜数游戏。 A 、 B 两名玩家事先约定一个正整数 N ，然后 A 在心里想一个不超过 N 的正整数 x ， B 则需要通过向 A 提问来猜出 A 心里想的数。 B 的问题只有唯一的格式：先列出一些数，然后问 A “x 是否在这些数里”， A 则需要如实回答“是”或者“否”。显然， B 是保证能猜到 x 的，只需要依次询问“x 是否等于 1 ”，“x 是否等于 2 ”即可。由于 B 可以精心选出满足某种特征的所有数，询问 x 是否在这些数里，因而 B 还可以做得更好。例如当 N ＝ 16 时， B 第一次可以问“x 是否小于等于 8 ”，或者等价地，“x 是否属于 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} ”；接下来，根据 A 的回复继续细问“x 是否小于等于 4 ”或者“x 是否小于等于 12 ”，以此类推。另一种方法则是询问“x 的二进制表达的第一位是否是 1”，“x 的二进制表达的第二位是否是 1”，以此类推，从而获得 x 的二进制表达的所有数位，便能推出 x 来。
现在，有意思的问题来了。假设 A 可以偶尔说谎（但保证不会连续说谎两次），那么 B 还能通过询问猜出 A 所想的数吗？如果愿意的话， B 可以询问任意多次。
在所有周长相等的长方形中，正方形拥有最大的面积；在所有周长相等的平面图形中，圆拥有最大的面积；在所有表面积相等的长方体中，正方体拥有最大的体积；在所有表面积相等的立体图形中，球拥有最大的体积。所有这类问题的答案都是越对称的图形越好吗？ George Pólya 在 Mathematical Discovery 一书中的第 15 章里举了下面这个例子。
在给定圆周上选取四个点构成一个四边形，那么正方形的面积一定是最大的吗？答案是肯定的。只要有哪个点不在相邻两点之间的圆弧的中点处，我们都可以把它移动到这段圆弧的中点处，使得整个图形的面积变得更大。好了，我们现在的问题是，在球面上选取八个点构成一个顶点数为 8 的多面体，那么正方体一定是体积最大的吗？
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