概率為 0 的事件，必然不能發生嗎？概率為 1 的事件，必然能發生嗎？

作者：姚岑卓
來源：知乎



結論：必然發生事件發生概率為1，不可能事件發生概率為0。反之不成立。


本文將從現實的一些誤解中說明這個問題。

0不僅僅代表「沒有」，也代表無窮小。

在小學學習數字的時候，老師對「0」往往是這麼解釋的：「0」代表沒有，代表無。
當我們引入「極限」的概念后，我們也說，此時我們對「0」有了新的認識：它不完全代表沒有，還代表無窮小。

為了理解無窮小的概念，我們舉這麼一個例子。
我給你一把尺子，讓你測量一個點和一條線段的長度。
線段的長度你可以輕而易舉測出來，但點的長度你卻沒法測量。
你可能會這樣說：我先看到這個點的長度小於1厘米，然後拿放大鏡觀察，發現長度小於0.5厘米，再拿放大鏡，小於0.25厘米，再拿放大鏡……
如此反覆，你最後的結果會越來越接近於0，但你知道長度又不會小於0.
所以你說，這個點的長度為0.
難道點不存在嗎？並非如此！你得出0的根本原因不是它不存在，而是長度這種測量單位對於一個點來說實在太大，點與線段相比實在太小，可以忽略。

所以，在一條長度一定的線段中隨機取到一個固定的點的概率為0，在面積有限的平面中隨機取到一條固定線段的概率為0，在體積有限的三維世界中取到一個固定平面的概率也是0.

但為什麼我們很難在現實生活中理解「概率為0的時間依舊可能發生」？這就引入到第二個誤解。

我們容易將連續的東西理解成離散的。

舉個例子，當我問你體重多少時，你會回答我：「大約是63公斤」，而不是63.1415926……=(60+π)公斤
當我問你年齡多少時，你會回答我：「22歲」，而不是22.7182818……=(20+e)歲
我們將本來分佈在數軸（線段或直線）上一點的問題轉化為，在一堆點中選點的問題。
我們將用於測量的單位從長度變為了個，於是，無窮小也就不存在了。
當我們將無窮小從0的意義中剝離時，0隻剩下了「沒有」的意義。
於是，我們沒法理解「沒有」的事情如何能發生。

當我們真正用非離散的角度看問題時，我們就能夠理解0概率事件也有可能發生了。
從一條線段中隨機選中一個特定的點，這事可能發生，但概率為0.
預測下一根生長出來的頭髮的頭皮坐標，這事可能發生，但概率為0.

進一步，當我們用另一種「尺子」衡量的時候，我們能知道：
從0到1中隨便選個點，這個點是有理數這事可能發生，但概率為0.
理論上證明一下難以說清楚，但是你可以從我所說的結論直觀地感覺到：「有理數的數目遠遠小於無理數。」

更新：
.評論中有人關於我說的「0是無窮小」提出反對意見。本人不才，對於這個問題沒有深刻理解，故暫時將「是」改為「代表」。若有對此部分感興趣者，請移步無窮小量究竟是否為零？，或在評論中發表看法，我將持續跟進這個問題並及時修改答案。

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1.關於0和「無窮小」的問題：
我想表達的意思是：「當我們說概率為0時，它既可以表示事件不存在，也可以表示事件存在，但相比總體無窮小。」
關於0和無窮小的問題，我並非從嚴格數學上來理解，而是從概率上來理解。
所以我說，如果對這個問題，在數學方面有興趣，歡迎移步討論。我也會持續跟進這個問題。
2.關於有理數和無理數多少的問題：
如果你對這個問題感興趣，歡迎你去看看集合論、測度論或實變函數入門的書籍。