概率为 0 的事件，必然不能发生吗？概率为 1 的事件，必然能发生吗？

作者：姚岑卓
来源：知乎



结论：必然发生事件发生概率为1，不可能事件发生概率为0。反之不成立。


本文将从现实的一些误解中说明这个问题。

0不仅仅代表“没有”，也代表无穷小。

在小学学习数字的时候，老师对“0”往往是这么解释的：“0”代表没有，代表无。
当我们引入“极限”的概念后，我们也说，此时我们对“0”有了新的认识：它不完全代表没有，还代表无穷小。

为了理解无穷小的概念，我们举这么一个例子。
我给你一把尺子，让你测量一个点和一条线段的长度。
线段的长度你可以轻而易举测出来，但点的长度你却没法测量。
你可能会这样说：我先看到这个点的长度小于1厘米，然后拿放大镜观察，发现长度小于0.5厘米，再拿放大镜，小于0.25厘米，再拿放大镜……
如此反复，你最后的结果会越来越接近于0，但你知道长度又不会小于0.
所以你说，这个点的长度为0.
难道点不存在吗？并非如此！你得出0的根本原因不是它不存在，而是长度这种测量单位对于一个点来说实在太大，点与线段相比实在太小，可以忽略。

所以，在一条长度一定的线段中随机取到一个固定的点的概率为0，在面积有限的平面中随机取到一条固定线段的概率为0，在体积有限的三维世界中取到一个固定平面的概率也是0.

但为什么我们很难在现实生活中理解“概率为0的时间依旧可能发生”？这就引入到第二个误解。

我们容易将连续的东西理解成离散的。

举个例子，当我问你体重多少时，你会回答我：“大约是63公斤”，而不是63.1415926……=(60+π)公斤
当我问你年龄多少时，你会回答我：“22岁”，而不是22.7182818……=(20+e)岁
我们将本来分布在数轴（线段或直线）上一点的问题转化为，在一堆点中选点的问题。
我们将用于测量的单位从长度变为了个，于是，无穷小也就不存在了。
当我们将无穷小从0的意义中剥离时，0只剩下了“没有”的意义。
于是，我们没法理解“没有”的事情如何能发生。

当我们真正用非离散的角度看问题时，我们就能够理解0概率事件也有可能发生了。
从一条线段中随机选中一个特定的点，这事可能发生，但概率为0.
预测下一根生长出来的头发的头皮坐标，这事可能发生，但概率为0.

进一步，当我们用另一种“尺子”衡量的时候，我们能知道：
从0到1中随便选个点，这个点是有理数这事可能发生，但概率为0.
理论上证明一下难以说清楚，但是你可以从我所说的结论直观地感觉到：“有理数的数目远远小于无理数。”

更新：
.评论中有人关于我说的“0是无穷小”提出反对意见。本人不才，对于这个问题没有深刻理解，故暂时将“是”改为“代表”。若有对此部分感兴趣者，请移步无穷小量究竟是否为零？，或在评论中发表看法，我将持续跟进这个问题并及时修改答案。

===========================分割线==============================
1.关于0和“无穷小”的问题：
我想表达的意思是：“当我们说概率为0时，它既可以表示事件不存在，也可以表示事件存在，但相比总体无穷小。”
关于0和无穷小的问题，我并非从严格数学上来理解，而是从概率上来理解。
所以我说，如果对这个问题，在数学方面有兴趣，欢迎移步讨论。我也会持续跟进这个问题。
2.关于有理数和无理数多少的问题：
如果你对这个问题感兴趣，欢迎你去看看集合论、测度论或实变函数入门的书籍。