关于唱票领先的概率问题的两种解法（汇总）

33原题：#22444

问题：在一次选举中，甲、乙二位候选人分别获得了m、n张选票（其中m>n）。试求：在整个唱票过程中，甲的票数一直领先于乙的票数的概率，不包括平票的情况。

数形结合法

我们制定如下规则：每一个点从 (0,0) 出发，每次只能选择“向上走一个单位”或者“向右走一个单位”，最终抵达 (m,n) ，总共需要走 (m+n) 步。

“向上走一个单位”等同于“乙得到一票”，而“向右走一个单位”等同于“甲得到一票”。折线图中，有 m 步是向右走的，有 n 步是向上走的，这分别对应了两位候选人的得票数。

最后，显然地，不同投票顺序的序列与折线图中从 (0,0) 到 (m,n) 的不同走法一一对应。

作直线 l:y=x ，我们很容易就能知道，“甲在唱票过程中全程严格领先于乙”的投票序列对应的折线一定与 l 没有交点。因为 l 上的点都代表着两候选人的票数相等，即平手。符合上述要求的序列对应的折线必须像下图的示例那样严格避开 l ：

为了更好地分析这些看上去让人眼花缭乱的折线，进而求出我们想要的概率，我们不妨从“折线的第一步”即第一张选票的归属开始分析起来：

显而易见，第一张选票属于甲的概率为 PA=m/(m+n) ，属于乙的概率为 PB=n/(m+n) .

其中事件 ：A： {第一张选票属于甲}；事件 ：B： {第一张选票属于乙}.

若第一张选票属于乙，则立刻出现了乙反超甲的情况，换言之，折线必会在某一点穿过 l ，这与“甲严格领先于乙”相悖。

若第一张票属于甲，仍可能会出现“折线与 l 无交点”与“折线与 l 有交点”两种可能事件，我们来看看后一种情况：

对于“第一步是向右走（第一张选票是甲的）”且“折线与 l 有交点”的所有折线，我们找到其与 l 的第一个交点，将从 (0,0) 到这个交点之间的这段折线，整体沿着 l 向上翻折。翻折完的折线（图中零点附近的虚折线段）与交点到 (m,n) 之间的折线，组成了一种新的从 (0,0) 到 (m,n)的走法。

可以发现，“新的走法”的总数与“第一步向上走（第一张选票属于乙）的走法”总数是相同的。因为翻折后新的折线，只有“第一步向上走”一个约束条件。（“与 l 有交点”条件是无效的，因为只要有了前者，后者自动成立！）

换言之，对于事件 ：C： {“第一步是向右走（第一张选票是甲的）”且“折线与 l 有交点”} 有：

最后，我们就可以得到甲的票数一直严格领先于乙的票数的概率——就是简单地将 1 减去上两个事件的概率：

数形结合—排列组合法

还是离不开作图画折线

若唱甲当选，则记为1；（有n个）

若唱乙当选，则记为-1. （有m个）

每一种唱票方式都对应一个由 n个1 和 m个-1 组成的排列. 用 A 表示所有项的和，建立直角坐标系中，横轴表示已经数了多少票，纵轴表示目前数的票数下所对应1和-1的总和，当纵轴对应的数为0时代表平票（与x轴有交点），为负值时代表甲的得票数比乙少。这两种情况都是不符合题意的。

标出点(m+n , A)，即为终点情况。把每一步的折线画出来。

显然，折线一共有如下画法：（能有这么多情况）

可以理解为在 m+n 步中，选择 n 步上升。

经过点（1，-1）的折线，共有这么多条：

即第一步就不是甲得票。

这些折线所对应的情况都是不符合题意的（与x轴有交点）

经过点（1,1）的折线，且最终与 x 轴有交点的折线，把（1,1）左边的折线向下翻转，就成了上面的情况（经过点1，-1），因此，也有如下这么多条：

于是，所有符合条件的折线个数为：

把上式除以折线总数，即为所求概率：