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兰氏数学天地系列题目集训(5)-中

2020-02-14 13:22:16

思考了比较长的时间,决定开始讲解行程问题,行程问题在33IQ算是比较常见的一种题,我决定在兰氏数学天地系列题目集训(6)-上开始讲解行程题,那么本期该干什么呢,我觉定把兰氏数学天地系列题目集训(4)-中的解答刊发出来

1.斐波那契数列通项是两个等比数列之和,再乘以一个等比数列后得到的数列一定是可以求和的极限的。设p等于(1+根号5)/2,q等于[(1-根号5)/2],则斐波那契数列通项公式为an=(p^n-q^n)/根号5,我们规定a0=0。设小数数列之和为SS=a0/10+a1/100+a2/1000+……=∑(i=1,∞)   ai/(10^(i+1))=(1/10)×(1/根号5)×[∑(i=0,∞)  ((p/10)^i-(q/10)^i)]利用无限项等比数列求和公式得=(1/10根号5)×[(1/(1-p/10)-1/(1-q/10))]=(1/根号5)×(p-q)/[(10-p)(10-q)]=(1/根号5)×4×根号5/[(19-根号5)(19+根号5)]=4/(19×19-5)=1/89
2.以出发点为原点,构建一个平面直角坐标系,这样,醉汉每次移动就是改变他在x轴和y轴上的位置。设他第一次走在x轴和y轴上各移动了X1和Y1米(可能是正数,也可能是负数,还可能是0)(1是下标),第二次是X2和Y2……第n次是Xn和Yn。走n次后,在x和y轴上共移动的距离可以表示为(X1+X2+……+Xn)和(Y1+Y2+……+Yn)。如果用S表示他走n次后离原点的距离,那么根据勾股定理,S∧2=(X1+X2+……+Xn)∧2+(Y1+Y2+……+Yn)∧2。把第一个括号乘出来,得X1∧2+X1X2+X1X3+……+X2X1+X2∧2+X2X3+……+Xn∧2。根据统计学,因为这些距离有正有负,那么在最理想的情况下,除了平方项永远是正的,其他项都可以找出一对对相反数抵消掉,所以实际上这就等于X1∧2+X2∧2+……+Xn∧2=nX。这里的X是X1、X2……Xn的方均根值,但在理想的情况下应该近似它们的平均值。第二个括号也可以变成nY。现在,公式变成了S=√(nX+nY)=√[n(X+Y)]=√n√(X+Y)。而√(X+Y)正好就是每段路的平均长度的近似值。所以,如果用m表示每段路的平均长度,公式就是S=m√n。最后,我们把n=999,m=9.9代进去,得到S≈313。
3.本题看起来像是不对称信息博弈,表面上丙获取比乙多,乙获取比甲多的信息,所以丙大有优势,但是实际上所有可能的取法在规则列明之后都已经被决定,几乎没有随机因素,如果从丙开始考虑,就会发现他的选择在乙和甲选择好后基本已经固定了的,反过来推理即可获得正确答案。设甲乙丙分别取值为ABC,离ABC最近的数字P的范围分别为PA、PB、PC;由于题目的对称性,显然A取任意数字Q都有A'=1001-Q与之对应,二者的结果完全等价,故不妨设A≤500;以三儿子丙的视角进行考虑,丙眼里AB已经是确定数字(如图所示,由于A≤500,必定有B≥501),那么丙为了最大化其范围PC有且仅有三种取法:C1=A-1,C2=(A+B)/2(或其他介于AB之间的数),C3=B+1,其PC分别为PC1=C1=A-1,PC2=(B-C2)/2+(C2-A)/2=(B-A)/2,PC3=1000-C3+1=1000-B,为了最大化获得大份遗产的概率,其PC必须为最大值;以二儿子乙的视角进行考虑,乙已知了A,且已知了上述C的思考,为了保住自己的范围PB,他会选取一个B,使得丙取C1(抢甲的地盘),而非C2(抢甲乙公共地盘),更非C3(抢乙的地盘),故B应当满足1)PC1>PC2且PC1>PC3,2)若无法满足PC1>PC2,即PC1≤PC2时,PC2>PC3,即①1001-A(2000+A)/3;以大儿子甲(也就是我们)的视角进行考虑,只要能取到破坏B的①②取值的最大值即可,通过简单计算可以得到,无论A取什么值,B都有方法至少达成条件①②中的一个,所以只能破坏条件①(破坏条件①意味着不让C取A之前,破坏条件②意味着不让C取AB之间,条件①不成立而条件②成立对于甲而言没有意义),故1001-A>3A-2,A<1003/4,A<251,故A取250时能最大概率的获得大份遗产。注1:如果假设A>500,能得到A的取值751,与上面的推论方式和结果完全一样,留作思考,略。注2:如果A取251,虽然可能比A取250的范围多1,但是A取251,B取751或750时,C有可能取250(因为C的几种最优取法范围相等,对于C而言并没有区别),必须要规避这种情况,A不能取251(或其他更大的数),A取250时无论B如何取,C一定不会取249。
预计将在一期番外篇中讲解有关这些题的知识

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标签: 数学 题目 天地

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2020-02-15 19:52:29 来自Android客户端
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