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兰氏数学天地系列题目集训(4)-上

2020-02-13 10:24:43

上一次所发表的兰氏数学天地系列题目集训番外篇的番外篇(1)无人问津,以至于我无法了解大家关于数学天地的难点所在。

因此,这一期我决定讲解一些4-5星题,以此来决定兰氏数学天地系列题目集训(5)-上的重点,以后上是讲解题目,中是课后作业,下是课堂总结。

1.有一个正方形的房间,房间的四壁都是镜子。房间里有一个天使和一个恶魔。假设房间是一个单位正方形 [0, 1] × [0, 1] ,那么天使和恶魔便是这个正方形内的两个点 (a, b) 和 (c, d) 。恶魔想要在原地发射致命激光杀死天使(激光可以无限地在镜子间反射)。天使可以根据恶魔的位置,预先在房间里放置一些守卫为自己挡住激光(守卫实际上也是一个个点)。当然,天使可以在自己周围密密麻麻地放一圈守卫,围成一个封闭的圆形,从而让恶魔不管朝什么方向发射激光,最终都无法击中天使。我们的问题是,能把守卫的数量减少到可数个点吗?能把守卫的数量减少到有限个点吗?

这道题目是我出的

参考解答:解决这类问题的一个常用技巧便是利用多次翻折把反射路线变为直线。现在,把这个房间不断地翻折,让它平铺整个平面;各种复杂的反射路径,就变成了一条一条的直线段。这样,我们便可认为恶魔的激光并不是在反射,而是径直穿过镜面射入房间的“虚像”。恶魔的目标,便是直接对准某个天使的虚像射击。由于天使的虚像只有可数个,因此天使可以在恶魔周围摆放可数个守卫,一一挡住射向每一个天使虚像的激光(有觉得下图中的网格线弯曲得异常严重吗?那是你的错觉)。

   

  守卫的数量还能进一步减少到有限个点吗?注意到,即使只有有限的守卫,经过翻折之后也将会产生无穷多个守卫的虚像,每一个虚像都可以帮忙挡住激光。因此,只使用有限的守卫是完全有可能的。事实上,不管天使的位置 (a, b) 和恶魔的位置 (c, d) 在哪儿,摆放 16 个守卫总是足够的。下面我们给出一个具体的方案。

  容易看出,所有天使虚像的坐标都形如 (2m ± a, 2n ± b) ,其中 m 和 n 都是整数(可以为负)。我们先来考察其中一类虚像,即所有形如 (2m – a, 2n + b) 的点。对于任意确定的 m 和 n ,恶魔 (c, d) 和天使虚像 (2m – a, 2n + b) 的连线都会经过 (m – a/2 + c/2, n + b/2 + d/2) 这个点,因为这个点其实是前两个点的连线的中点。也就是说,在每个格子里的 (- a/2 + c/2, b/2 + d/2) 处都放一个点,就能够挡住所有射向这类虚像的激光了(注意,当 a > c 时,横坐标是负的,因而这些点实际上将位于各个房间的 (1 – a/2 + c/2, b/2 + d/2) 处):

   

  等等,等等,这些黑点都是从哪儿来的?别忘了,我们只能通过翻折建立虚像,不能通过平移建立虚像。因此,事实上,我们需要在初始的房间里对称地放置四个守卫,才能让所有“虚房间”的 (- a/2 + c/2, b/2 + d/2) 处都有一个点:类似地,天使的虚像坐标还有 (2m + a, 2n + b) 、 (2m + a, 2n – b) 、 (2m – a, 2n – b) 三类,它们又需要另外四组守卫。因此,总共 16 个守卫便能挡住所有可能的激光。

解题思路:利用我在数论那一章所讲的技巧1来解题,屡试不爽

2.现有8种药水,其中有且仅有一种有毒,药水24小时见效,现要求在24小时找出有毒药水,需要至少几只小白鼠?

参考解答:将药水编号1到8,小鼠编号A、B、C,使A服下6、1、2、7,B服下2、3、4、7,C服下4、5、6、7,若仅A死,则为1;AB同时死则为2,仅B死则为3,BC同时死则为4,仅C死则为5,AC同时死则为6,ABC同时死则为7,都没死则为8。故3只便可,而2只的话死亡情况只有3种,不可能试出8种药水中哪种有毒,所以是B,3只。

3.MASHIMARO想要用不同颜色写“凹”字,一共有m种不同颜色的笔,要求“凹”字的每一笔画只能用一种颜色的笔写,且相邻笔画的颜色不同。MASHIMARO只能写出240个不同颜色的“凹”字,那么m为?

参考解答;首先先推一个普遍结论。
有n条线段组成封闭且不交叉的图形需要给每条边涂一种颜色,且相邻边颜色不同,一共有m种不同的颜色。(m≥2且m为正整数)
第一条边有m种方法,第二条边有(m-1) 种方法,……第n条边有(m-1) 种方法。(不考虑第一条边与第n条边同不同色)
当第一条边与第n条边同色,记为An-1
当第一条边与第n条边不同色,记为An(n≥2)
A2=m(m-1)
An-1+An=m(m-1) ^(n-1)
An-1/(m-1) ^(n-1) +(m-1)An/(m-1) ^n=m
设An/(m-1) ^n =Bn(n≥2) ,B2=m/(m-1)
Bn=-Bn-1/(m-1) +m/(m-1)
-1+Bn=-1/(m-1) (-1+Bn-1)
-1+Bn=(-1+B2)(-1/(m-1)) ^(n-2)
Bn=(-1)^(n-2)/(m-1) ^(n-1) +1
An=(m-1) ^n+(m-1)(-1) ^n(n≥2)
此题中n=5(凹字5笔画)
A5=(m-1) ^5-(m-1) =240
解得m=4

4.公孙离一技能cd7秒,二技能cd12秒,三技能cd20秒,不考虑减cd的情况,忽略施法动作时间,释放每个技能5秒后进入cd,这5秒我们称之为有效时间。
假设时间有限且足够长,问初始以什么顺序释放技能使平均有效时间占比最大?

参考解答:三个技能的顺序无外乎六种情况:①一二三②一三二③二一三④二三一⑤三一二⑥三二一先考虑一、二技能的顺序若先一后二,那么第1秒释放一技能,第6秒释放二技能,第13秒一技能cd完成再次释放,第23秒二技能cd完成再次释放,第28秒二技能有效时间结束再次释放一技能,第一个周期耗时39秒,有效时间5×5=25秒。若先二后一,那么第1秒释放二技能,第6秒释放一技能,第18秒两个技能同时cd完成,周期17秒内有效时间是2×5=10秒。显然25/39大于10/17,因此一二总是比二一好,排除③⑥。第②种,其本质与⑥类似,在“一三二一”一套技能连招后进入漫长的7秒技能真空期(三个技能全在cd中),这不免会产生时间浪费(即后续会有技能冷却已完成但无法有效使用的情况)。剩下的⑤①④三种情况,分别在图上绘制了,在⑤的25秒后(即第26秒开始)、①的35秒后,④的30秒后,均是到达一个相同情况,即释放一次三技能,而一二技能cd均已读完,因此此后的事我们可不必考虑。【图中黄色表示技能有效时间,红色表示技能cd,绿色表示下一次三技能释放,此后的事不必考虑。】⑤的25秒内释放4次技能(三一二一),有效时间4×5=20秒;①的35秒内释放6次技能(一二三一二一),有效时间6×5=30秒;④的30秒内释放了5次技能(二三一二一),有效时间5×5=25秒。我们选择效率最高的①30/35,当然随着时间推移,⑤①④三种情况的效率都会趋向20/25,而有限且足够长的时间内,总是①最高。“有限且足够长”的意义在于,无限的时间效率均为20/25,而不足够长的时间(例如前15秒)效率均可以是100%。

5.“十个男人七个傻,八个呆,九个坏,还有一个人人爱……”——陶晶莹《姐姐妹妹站起来》

根据这句歌词的内容,求“傻”“呆”“坏”三样全占的男人个数的最大值和最小值(答案格式为最大值在前,最小值在后)

参考解答:

因为“还有一个人人爱”,根据对歌词内容的理解可知,这个“人人爱”的男人是三个条件都不符合的,因此还剩下10-1=9个男人三样至少符合一点。

而歌词内容是“九个坏”,所以剩下的9个男人全坏,因此“坏”这个条件可以忽略不计。于是问题简化为两个集合的容斥原理。

若想让三样都占的男人更多,则7个“傻”男人应都包含于8个“呆”和9个“坏”的男人之中,即待求的最大值为M=min{7,8,9}=7.

接下来求最小值m。此时问题转化为:9个男人中有7个傻,8个呆,且“傻”男人不都包含于“呆”男人的情况下,多少人既傻又呆?答案自明,为7+8-9=6.

所以三样都占的男人数量,最多为7,最少为6。


好了,不过本讲还没完,你认为哪道题最难,在评论区投票表决

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标签: 题目 天地 数学

#3
僵尸开了我的脑 壳失望的走开了
回复2楼:这道题是我从M67的网站上看到的,他也是从某个网站上看到这道题,不是我出的


不是你出的也很厉害了,你这个年纪要理解这些题是很困难的,我高一才开始学数论

2020-02-13 13:39:05 来自Android客户端
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回复1楼: 小学生能搞出这种难度的题目,我真是佩服。还有,第一道要是天使有腿走到墙角就只要4个了。第一题的正方形墙最好改成正5边形

这道题是我从M67的网站上看到的,他也是从某个网站上看到这道题,不是我出的

2020-02-13 13:35:19
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#1
僵尸开了我的脑 壳失望的走开了

小学生能搞出这种难度的题目,我真是佩服。还有,第一道要是天使有腿走到墙角就只要4个了。第一题的正方形墙最好改成正5边形

2020-02-13 12:55:54 来自Android客户端
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