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对数系发展的再认识

2019-11-25 14:03:23

(原文载于数学经纬网,侵删)

如果说数构成数学大厦的砖瓦,那么数系则构成数学大厦的基本形态。对于自然数的认识是所有数学认知起步阶段的基本内容。

在此基础上再通过自然数的运算过渡到整数和有理数乃至实数,这样的认知过程和数系的产生历程是相同的。那么,为什么数系会按照这样的过程产生?其中有着什么样的逻辑关系?

一、实数系的产生

原子论与无限可分(无限累加)是认识论里面的一对矛盾,自然数就是这一对矛盾的产物。自然数系统理解起来最直观,在历史上数的家族中也是最先进入人类认识世界的。单位“1”就是原子单元,运算“+”就蕴含无限过程。简言之,自然数具有“单元不可分”和“数量不可穷尽”相互对立统一的两重属性。

有理数是由自然数构造的,自然数中任意两元素之比(ratio)就构造出了有理数(rationalnumber),或者叫可通约量,通约就表明这种构造的方法的哲学基础是原子论——分子分母各是某一个共同的“原子”的若干倍。

一般我们把有理数集记作Q,也说明了这一层意思,是英语quotient的第一个字母,表示商的意思。但是由于构造的材料是自然数中“任意”的两个元素,“任意”二字这就把自然数不可穷尽的性质带到有理数当中来了,使得有理数获得了一种新的性质———稠密性,即任意两个有理数之间存在无穷多个有理数。可以清楚地看到,“单元不可分”让了一步,“1”可以分裂了,“数量不可穷尽”就进了一步,不但往大了说是无限,往小了说也是无限。

而实数又是在有理数的基础上构造出来的。从有理数到实数的跨越经历了一个漫长的时间,从毕达哥拉斯学派根号2的发现到魏尔斯特拉斯等人建立严格的实数理论,其间经过了两千多年。每一个有理数的确定依赖于两个自然数不同,每一个实数依赖于无穷多个有理数而确定,即任意实数x是由区间套序列{[an,bn]}来准确地描述的。无限十进制小数是定义实数的许多种方法之一,其依据就是区间套公理。从这里可以看到,“单元不可分”又退了一步,从有理数的“单元可分”退到“无论你怎么分都不顶事(对无理数而言)”的地步。

从以上的历程可以看出,人类的认识是在向“无限”领域进军的,或者说“无限”越来越成为矛盾的主要方面了。

魏尔斯特拉斯

二、集合观点下的实数系

有了集合论之后,就可以用集合论的语言来描述很多问题。实数系从语义上可以直观解读为实数系统。系统就是定义了关系的集合,相对稳定的性质称为结构。在旧的系统基础上构造新的系统,新系统一定是具有部分旧系统的性质,但是又必定要以舍弃部分旧性质为代价,以获取新的性质。对于集合来讲,无论多少个元素,可以说直观的理解都是离散的,而且在没有定义任意两元素关系之前,连续是无法确切理解的。连续的直觉可以是源于变化事物大小的比较,主要是基于空间的尺度,依赖于有序性。连续的直觉还可以是源于相邻无间,即中间不能插入同类元素。综合相邻和有序两层直觉含义,自然数是连续的,而有理数和实数的稠密性表明它们是不连续的。可以毫不客气地说,借助有理数与实数的结构来理解连续是非常费劲徒劳无益的事情。然而连续又是分析数学中一个基础性的概念,这实在是一件让人头痛的事情。

人类对世界的认识分定性定量两个方面,度量单位的获取标志着进入定量时代,度量单位越发达就表明定量的面越广泛,比如语文中的量词;度量单位越小,就表明定量越精确,比如物理中的微观数量级。只要想定量,就一定要依赖于“原子论”的方法,必须有基本单元。“原子论”之所以不断让步,就是为了获得更高程度的精确,达到更高要求的定量。

“点”就是现阶段数学里面的“原子”,这个特殊的“原子”就是原子论与无限可分(无限累加)相互斗争的产物。人们承认单位长度在度量中的重要性,但是为了满足更高的精度,同时也承认了单位长度是相对的,没有绝对的单位长度,它是无限可分的,这就给认识带来了困境。人们不禁要问:究竟有没有最小单位?如果没有,那实数理论里面的“点”算什么?如果“点”就是,那单位长度必定不为0,而点是被规定没有大小的。这可以称之为“点之谜”。


三、对于新实数系的猜想

原子论是有着巨大的认识论意义的,这一点无须否认,它以退为进使得人们获取了近现代整个科学体系。“点之谜”的提出表明已经到了需要重新审视原子论与无限可分(无限累加)这对矛盾的时候了。点的神秘性源于有理数、实数的稠密性,更进一步可以说是源于自然数的无限性。我们知道,只要对1进行反复累加,如计算机语言中的i=i+1,只要按照这一过程无休止地进行下去就能够造出自然数集。然而,这一过程相对现实世界是失真的,现实世界中没有谁会、也没有谁能这样无限地累加下去,计算机碰到这种情况只好崩溃。就是说,这一过程必然要在某处停止,停止就意味着有一个数充当着最大数的角色。这时候自然数集可以写成{无,1,2,…,n,极},无就是0,极就是最大数,可以用符号@表示。0和@是具有特殊性质的两个元素,因为它们是质变的标志。0+m=m,@+m=@,这样,可以设想0是一个悬崖,而@是一面墙,对于具体问题而言,运算就在这两者之间进行。因此可以猜想,新的有理数和实数也将被构造出来,那将是一种具体情况具体分析的数量模型。


在新的模型中,无限的含义就变了,无限具有了两层含义,它在量变的意义上是有限,在质变的意义上是无限。这可以说是“原子论”对“无限可分”的一次反击,矛盾还要继续。


标签: 认识 发展 对数

#1
祝你前程似锦吖……(^_^)

乍一看头痛欲裂,再一看还好

2019-11-25 20:07:45 来自Android客户端
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