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格兰迪级数

2019-09-01 11:40:54

格兰迪级数(Grandi's series),即1 ? 1 + 1 ? 1 + …,是在1703年由意大利数学家格兰迪发表的,后来荷兰数学家丹尼尔·伯努利和瑞士数学家莱昂哈德·欧拉等人也都曾研究过它。
它是一个发散级数,也因此在一般情况下,这个无穷级数是没有和的。但若对该发散级数进行一些特别的求和处理时,就会有特定的“和”出现。格兰迪级数的欧拉和和切萨罗和均为1/2。
中文名
格兰迪级数
外文名
Grandi's series
表达式
1 ? 1 + 1 ? 1 + …
提出者
格兰迪
简介
针对以下的格兰迪级数
1 ? 1 + 1 ? 1 + 1 ? 1 + 1 ? 1 + …
一种求和方式是求它的裂项和:
(1 ? 1) + (1 ? 1) + (1 ? 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0.
但若调整括号的位置,会得到不同的结果:
1 + (?1 + 1) + (?1 + 1) + (?1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1.
用不同的方式为格兰迪级数加上括号进行求和,其级数和可以得到0或是1的值。
格兰迪级数为发散几何级数,若将收敛几何级数求和的方式用在格兰迪级数,可以得到第三个数值:
S = 1 ? 1 + 1 ? 1 + …,因此
1 ? S = 1 ? (1 ? 1 + 1 ? 1 + …) = 1 ? 1 + 1 ? 1 + … = S,即
2S = 1,
可得到S = 1/2。
依照上述的计算,可以得到以下的二种结论:
格兰迪级数 1 ? 1 + 1 ? 1 + … 的和不存在。
格兰迪级数的和为1/2。
总结
上述二个答案都可以精确的证明,但需要用19世纪提出的一些良好定义的数学概念。从17世纪欧洲开始使用微积分起,一直到现在严谨的数学成型之前,上述二个答案已造成数学家们尖锐及无止尽的争论。

标签: 级数 格兰

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按照通用的和的定义,这个级数根本没有和。当然按照别的定义是可以有的。

2019-09-15 19:15:58
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#1
Game Start! Are you ready?

顶顶顶

2019-09-08 16:48:00 来自Android客户端
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