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【悬赏1000】射击博弈

2018-04-18 00:10:12

本身就是求助题。#243378

标签: 射击 博弈 悬赏

#2
天若逆我我诛天

讨论这个问题之前先讨论一个问题:假设两人都有一颗子弹,第一种:五十米,命中50%。第二种:四十九米,命中51%。甲会想:在五十米时,乙开枪,命中50%。他打不中,我肯定在零米时开枪,命中百分百。我不如等乙开枪。乙也这样想,所以五十米时没人开枪。进入四十九米同时开枪。进入四十九米时,我的死亡率是51%,存活率是49%。所以,不能等四十九米时开枪,要在五十米时开枪。所以,五十米时同时开枪。

2018-04-18 08:46:24 来自Android客户端
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回复16楼:

这题我们还是从最简单情况开始讨论:

1. 在双方都只有一发子弹的情况下:

   这种情况不难证明临界值是50%, 不管是谁先开枪, 此时存活的概率为50%。 当双方距离大于50, 谁后开枪谁存活率高,当双方距离小于50, 谁先开枪谁存活率高。由于我们不能保证自己刚好在对方开枪前一个瞬间开枪(对方开枪时间无法估计),我们能保证的最大存活率只有50%。

2. 玩家A还有两发子弹,玩家B只有一发子弹的情况:

   如果玩家A发射了第一颗子弹,我们设其命中率为 p,那么这颗子弹不中的概率就是(1-p), 而如果这颗子弹没中,之后的情况就跟之前说的一人一颗子弹一致了。已经论证了我在各持一发子弹的情况下我们能保证的最大存活率是50%。

  设一个临界值,不管这第一发子弹是否打中,我们存货的概率相等:

   即解:p = (1-p)*50% 得p=1/3 大概在两人相距66米左右的地方。

   此时A 获胜的概率为:

   1/3(击中) + 2/3(未击中)*50%(一人一发的情况) = 2/3

   B获胜的概率为:

   2/3(未击中)*50%(一人一发的情况) = 1/3

   若在此临界值之前,B先发, 他的生存率小于1/3, A先发,A 的生存率小于2/3。

   在此临界值之后,A先发则 A的生存率>2/3 B 先发则 B的生存率>1/3, 无论如果都应该先发,为了保证能先发,应该在相距66米这个临界值立即发射(双方都一样), 我们能保证的最大生存率是1/3(B),和2/3(A).


3.最后回到这个问题的情况:一人两发

不难类推只有有人发了第一发,就变成了第二种情况,这种情况我们论证了,在一人一发,一人两发的情况下,能保证的最大胜率是2/3和1/3 (有两发的人和一发的人胜率是不同的)

Again:

我们设第一发子弹射出的命中率为p:

打不中的概率就是(1-p),而打不中就变成了上述1/3的存活率

所以打不中且最后获胜的概率是(1-p)*(1/3)

接方程 p = (1-p) * (1/3) 得 p = 1/4, 所以这个临界值在相距75米左右的位置。在此临界值发射的胜率是1/4(打中的概率)+3/4(打不中)*(1/3)(打不中之后依然能赢的概率) = 1/2


总结:三个临界点应该是相距75米 66米和50米时候,

策略:

在75米时,若对方还有两颗子弹,我们就开枪。

在66米时,如果对方两颗自己一颗,或自己两颗对方一颗 就开枪

在55米时,如果各剩一颗子弹,就开枪

当然在任何情况下,如果对方两枪都没了,我们就到最后把枪塞他嘴里再开。

用这种办法可保证50%的获胜,我们不可能保证一个大于50%的获胜率,因为对方可以用同样的玩法。






   


对称博弈,双方策略必然一致,且胜率一定50%,解个方程即可,我最近接出来了。还是感谢你的意见

2018-06-13 21:15:55 来自Iphone客户端
点赞 0

这题我们还是从最简单情况开始讨论:

1. 在双方都只有一发子弹的情况下:

   这种情况不难证明临界值是50%, 不管是谁先开枪, 此时存活的概率为50%。 当双方距离大于50, 谁后开枪谁存活率高,当双方距离小于50, 谁先开枪谁存活率高。由于我们不能保证自己刚好在对方开枪前一个瞬间开枪(对方开枪时间无法估计),我们能保证的最大存活率只有50%。

2. 玩家A还有两发子弹,玩家B只有一发子弹的情况:

   如果玩家A发射了第一颗子弹,我们设其命中率为 p,那么这颗子弹不中的概率就是(1-p), 而如果这颗子弹没中,之后的情况就跟之前说的一人一颗子弹一致了。已经论证了我在各持一发子弹的情况下我们能保证的最大存活率是50%。

  设一个临界值,不管这第一发子弹是否打中,我们存货的概率相等:

   即解:p = (1-p)*50% 得p=1/3 大概在两人相距66米左右的地方。

   此时A 获胜的概率为:

   1/3(击中) + 2/3(未击中)*50%(一人一发的情况) = 2/3

   B获胜的概率为:

   2/3(未击中)*50%(一人一发的情况) = 1/3

   若在此临界值之前,B先发, 他的生存率小于1/3, A先发,A 的生存率小于2/3。

   在此临界值之后,A先发则 A的生存率>2/3 B 先发则 B的生存率>1/3, 无论如果都应该先发,为了保证能先发,应该在相距66米这个临界值立即发射(双方都一样), 我们能保证的最大生存率是1/3(B),和2/3(A).


3.最后回到这个问题的情况:一人两发

不难类推只有有人发了第一发,就变成了第二种情况,这种情况我们论证了,在一人一发,一人两发的情况下,能保证的最大胜率是2/3和1/3 (有两发的人和一发的人胜率是不同的)

Again:

我们设第一发子弹射出的命中率为p:

打不中的概率就是(1-p),而打不中就变成了上述1/3的存活率

所以打不中且最后获胜的概率是(1-p)*(1/3)

接方程 p = (1-p) * (1/3) 得 p = 1/4, 所以这个临界值在相距75米左右的位置。在此临界值发射的胜率是1/4(打中的概率)+3/4(打不中)*(1/3)(打不中之后依然能赢的概率) = 1/2


总结:三个临界点应该是相距75米 66米和50米时候,

策略:

在75米时,若对方还有两颗子弹,我们就开枪。

在66米时,如果对方两颗自己一颗,或自己两颗对方一颗 就开枪

在55米时,如果各剩一颗子弹,就开枪

当然在任何情况下,如果对方两枪都没了,我们就到最后把枪塞他嘴里再开。

用这种办法可保证50%的获胜,我们不可能保证一个大于50%的获胜率,因为对方可以用同样的玩法。






   

2018-06-13 20:30:27
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要排除两颗子弹相撞的可能

2018-06-04 20:51:23 来自Android客户端
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在各自走了15步之后开枪,且连开两枪。
此时命中率为1-0.7^2大于0.5

2018-05-18 13:21:58 来自Android客户端
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博弈论里面,次优解等于最优解

2018-04-20 07:55:28 来自Android客户端
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#12
天若逆我我诛天
回复7楼:

简单点先看一发子弹:如果一个人第一步开完了,那我就等100开。如果都等100开,99先开明显划算。这里面一定有一个临界值,是无论对方先开活100开,都是一样的胜率。
一发子弹的话,50以前开,必然对方等到100,如果50以后开,先开的永远恒大于后开的。

所以一发子弹临界值在50!正确!几位说的都无误

但是双方都两发子弹呢?


先讨论一发子弹的情况。我说的情况是两人智商一样高,身手一样。换句话说,无论什么情况下,两人都是同时开枪。到了五十米时,他们都会希望只有一个人开枪。但是,两人的想法是一样的,所以,要么都不开枪,要么都开枪。他们这样犹豫着,有可能时间到了,被迫进入四十九米开枪。但两人知道进入四十九米时同时开枪,获胜率低,所以又可能在五十米时同时开枪。

2018-04-18 21:08:55 来自Android客户端
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这不是otf的悬赏题吗。。

2018-04-18 19:48:44 来自Android客户端
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#10
超凶(≥^—^≤)!
回复1楼:

我想来想去也只能这样子了
2人相距50米的时候2枪都开(命中率50%)2x50%=100% 但是成功率只有一半 若是距离越少 那威胁越大(对方也不是**)


策略应该没错,只是概率有点。。

2018-04-18 19:20:01 来自Android客户端
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#9
超凶(≥^—^≤)!

话说回来,射中和死亡等价吗?
被射中即被判定死亡吗?

2018-04-18 18:32:34 来自Android客户端
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#8
超凶(≥^—^≤)!

前提是优先保证生存。
想赢更想要命。
那么无论先后轮到我的时候,我会立刻射出所有子弹认输
等待别人的更优解 =ω=

2018-04-18 18:16:55 来自Android客户端
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简单点先看一发子弹:如果一个人第一步开完了,那我就等100开。如果都等100开,99先开明显划算。这里面一定有一个临界值,是无论对方先开活100开,都是一样的胜率。
一发子弹的话,50以前开,必然对方等到100,如果50以后开,先开的永远恒大于后开的。

所以一发子弹临界值在50!正确!几位说的都无误

但是双方都两发子弹呢?

2018-04-18 13:14:49 来自Android客户端
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#6
痛苦并快乐着

两人击中对方的概率相同,所以无法优先保证存活,如果优先保证存活,必须向反方向走,所以此题无解。

2018-04-18 13:03:16 来自Android客户端
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回复4楼:

是各有两发子弹还是一共两发


各有

2018-04-18 11:17:38 来自Android客户端
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#4
沉迷学习,日渐消瘦

是各有两发子弹还是一共两发

2018-04-18 11:10:48 来自Android客户端
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2018-04-18 09:21:43 来自Android客户端
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#2
天若逆我我诛天

讨论这个问题之前先讨论一个问题:假设两人都有一颗子弹,第一种:五十米,命中50%。第二种:四十九米,命中51%。甲会想:在五十米时,乙开枪,命中50%。他打不中,我肯定在零米时开枪,命中百分百。我不如等乙开枪。乙也这样想,所以五十米时没人开枪。进入四十九米同时开枪。进入四十九米时,我的死亡率是51%,存活率是49%。所以,不能等四十九米时开枪,要在五十米时开枪。所以,五十米时同时开枪。

2018-04-18 08:46:24 来自Android客户端
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我想来想去也只能这样子了
2人相距50米的时候2枪都开(命中率50%)2x50%=100% 但是成功率只有一半 若是距离越少 那威胁越大(对方也不是**)

2018-04-18 03:43:28 来自Android客户端
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